9126. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D
— середина ребра CC_{1}
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC
и ADB_{1}
.
б) Найдите угол между плоскостями ABC
и ADB_{1}
.
Ответ. \arctg\frac{2}{5}
.
Решение. а) Продолжим отрезки BC
и B_{1}D
до пересечения в точке M
. Тогда M
и A
— общие точки плоскостей ABC
и ADB_{1}
. Следовательно, AM
— прямая пересечения этих плоскостей.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую AM
. Поскольку DC
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезок CH
— ортогональная проекция наклонной DH
на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах DH\perp AM
, значит, DHC
— линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC
и ADB_{1}
.
Из равенства прямоугольных треугольников DCM
и DC_{1}B_{1}
получаем, что CM=B_{1}C_{1}=5
. Треугольник ABM
— прямоугольный с прямым углом при вершине A
, так как его медиана AC
равна половине стороны BM
(AB=5
, BM=BC+CM=10
). Отрезок CH
— средняя линия этого треугольника, поэтому CH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}
. Следовательно,
\tg\angle DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}.