9131. На ребре AA_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отмечена точка K
так, что AK=6
и KA_{1}=2
. Точка O
— центр грани ABCD
.
а) Постройте сечение куба плоскостью D_{1}OK
.
б) Найдите объём меньшей из частей куба, на которые он разбивается указанной плоскостью.
Ответ. \frac{2368}{21}
.
Решение. а) Пусть P
— точка пересечения прямых D_{1}K
и AD
, а M
и N
— точка пересечения прямой PO
с рёбрами AB
и CD
соответственно. Тогда искомое сечение — четырёхугольник KMND_{1}
. Прямые пересечения KM
и D_{1}N
секущей плоскости с параллельными плоскостями ABB_{1}A_{1}
и DCC_{1}D_{1}
параллельны, значит, KMND
— трапеция.
б) Треугольник PAK
подобен треугольнику D_{1}A_{1}K
с коэффициентом \frac{AK}{KA_{1}}=\frac{6}{2}=3
, поэтому PA=3A_{1}D_{1}=3\cdot8=24
.
Обозначим AM=x
. Из равенства треугольников CON
и AOM
получаем, что CN=AM=x
. Тогда DN=CD-CN=8-x
.
Треугольники PAM
и PDN
подобны, поэтому \frac{AM}{DN}=\frac{PA}{PD}
, или \frac{x}{8-x}=\frac{24}{32}
. Отсюда находим, что x=\frac{24}{7}
.
Пусть V
и v
— объёмы пирамид PND_{1}D
и PAMK
соответственно. Тогда
v=\frac{1}{3}S_{\triangle AKM}\cdot PA=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AM\cdot AK\cdot PA=\frac{1}{6}\cdot\frac{24}{7}\cdot6\cdot24=\frac{576}{7},
а так как эти пирамиды подобны с коэффициентом \frac{PA}{PD}=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}
, то
V=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}v=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}\cdot\frac{576}{7}=\frac{4096}{21}.
Следовательно, объём указанной в условии меньшей части куба равен
V-v=\frac{4096}{21}-\frac{576}{7}=\frac{2368}{21}.