9132. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
известно, что AB=2
, AA_{1}=3
.
а) Докажите, что прямые AC_{1}
и BE
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AC_{1}
и BE
.
Ответ. \frac{3\sqrt{7}}{7}
.
Указание. AC\perp BE
.
Решение. а) По свойству правильного шестиугольника BE\perp AC
. Прямая CC_{1}
перпендикулярна плоскости основания ABCDEF
данной правильной призмы, отрезок AC
— ортогональная проекция наклонной AC_{1}
на плоскость этого основания. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах AC_{1}\perp BE
.
б) Пусть K
— точка пересечения диагоналей AC
и BE
основания ABCDEF
. Опустим перпендикуляр из точки K
на прямую AC_{1}
. Прямая BE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и AC_{1}
плоскости ACC_{1}
, значит, AC\perp KH
. Таким образом, KH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC_{1}
и BE
, а расстояние между этими прямыми равно длине отрезка KH
.
Пусть CP
— высота прямоугольного треугольника ACC_{1}
со сторонами
CC_{1}=3,~AC=AB\sqrt{3}=2\sqrt{3},~AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}.
Тогда
CP=\frac{AC\cdot CC_{1}}{AC_{1}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot3}{\sqrt{21}}=\frac{6}{\sqrt{7}},
а так как KH
— средняя линия треугольника APC
, то
BH=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015