9138. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=24
, BC=7
. Боковые рёбра SA=\sqrt{51}
, SB=\sqrt{627}
, SD=10
.
а) Докажите, что SA
— высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC
и BD
.
Ответ. \arccos\frac{527}{650}
.
Решение. а) Поскольку
SD^{2}=100=51+49=SA^{2}+AD^{2},
треугольник ASD
прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
Поскольку
SB^{2}=627=51+576=SA^{2}+AB^{2},
треугольник ASB
также прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
Прямая SA
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD
и AB
плоскости основания пирамиды, значит, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, SA
— высота пирамиды SABCD
.
б) Пусть O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD
, а M
— середина ребра SA
. Тогда OM
— средняя линия треугольника ASC
, поэтому OM=\frac{1}{2}SC
и OM\parallel SC
. Угол между прямой BD
и прямой SC
равен углу \alpha
между прямой BD
и прямой OM
, параллельной SC
.
Из прямоугольных треугольников ABC
, ASC
и AMD
находим, что
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25,~
SC=\sqrt{AS^{2}+AC^{2}}=\sqrt{51+625}=\sqrt{676}=26,
DM=\sqrt{AD^{2}+AM^{2}}=\sqrt{49+\frac{51}{4}}=\frac{\sqrt{247}}{2}.
Тогда
OD=\frac{1}{2}BD=\frac{25}{2},~OM=\frac{1}{2}SC=13.
Из треугольника DOM
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle DOM=\frac{OM^{2}+OD^{2}-DM}{2OM\cdot OD}=\frac{169+\frac{625}{4}-\frac{247}{4}}{2\cdot13\cdot\frac{25}{2}}=\frac{527}{650}.