9140. Все рёбра правильной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны 6. Точка K
лежит на ребре AB
, причём AK:KB=2:1
.
а) В каком отношении плоскость, проходящая через точку K
перпендикулярно ребру SB
, делит ребро SB
?
б) Найдите расстояние от вершины D
до плоскости сечения.
Ответ. а) 1:5
; б) 5.
Решение. а) Пусть P
— точка пересечения прямой SB
и плоскости \alpha
, проходящей через точку K
перпендикулярно SB
. Тогда KP\perp SB
. Если AQ
— высота равностороннего треугольника ASB
, то KP\parallel KP
. По теореме о пропорциональных отрезках BP:BQ=BK:AB=1:3
, а так как Q
— середина ребра SB
, то BP:SB=1:6
. Следовательно, BP:PS=1:5
.
б) Пусть плоскость \alpha
пересекает прямую BC
в точке M
. Тогда KM\perp SB
. По теореме о трёх перпендикулярах KM\perp BD
, значит, KM\parallel AC
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, L
— точка пересечения KM
и BD
. Тогда BL:LO=BK:KA=1:2
, а наклонная BD
делится плоскостью \alpha
в отношении BL:LD=1:5
. Значит, расстояние d
от точки D
до плоскости \alpha
в пять раз больше расстояния от точки B
до этой плоскости, а так как BP
— перпендикуляр к плоскости \alpha
, то
d=5BP=5\cdot\frac{1}{6}SB=\frac{5}{6}\cdot6=5.