9141. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите синус угла между боковым ребром и не содержащей это ребро плоскостью боковой грани.
Ответ. \sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Пусть все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны a
. Обозначим через \alpha
искомый угол между боковым ребром SA
и плоскостью боковой грани CSD
. Если A_{1}
— ортогональная проекция точки A
на плоскость грани CSD
, то искомый угол — это угол ASA_{1}
. Тогда
\sin\angle ASA_{1}=\sin\alpha=\frac{AA_{1}}{SA}.
Прямая AB
параллельна плоскости грани CSD
, так как она параллельна прямой CD
, лежащей в этой плоскости. Значит, расстояние от точки A
до плоскости грани CSD
равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой AB
. В качестве такой точки возьмём середину M
стороны AB
квадрата ABCD
. Пусть N
— середина CD
. Расстояние от точки M
до плоскости CSD
равно высоте MK
равнобедренного треугольника MSD
, опущенной на боковую сторону SN
.
Пусть O
— середина MN
. Из прямоугольных треугольников DNS
и NOS
находим, что
SN=\sqrt{SD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2},
SO=\sqrt{SN^{2}-NO^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
а так как MN\cdot SO=SN\cdot MK
, то
AA_{1}=MK=\frac{MN\cdot SO}{SN}=\frac{a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Следовательно,
\sin\alpha=\frac{AA_{1}}{SA}=\frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}.