9145. Все рёбра правильной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны. Найдите угол между боковым ребром SA
и прямой, проходящей через середины рёбер AB
и SC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и SC
соответственно, K
— середина ребра SD
. Отрезок KN
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому
KN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=AM,~KN\parallel AM.
Значит, четырёхугольник AKNM
— параллелограмм, поэтому AK\parallel MN
. Тогда угол между скрещивающимися прямыми AS
и MN
равен углу между пересекающимися прямыми AS
и AK
.
Треугольник ASD
равносторонний, поэтому его медиана AK
является биссектрисой. Следовательно,
\angle SAK=\frac{1}{2}\angle SAD=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.14, с. 20