9150. Основание пирамиды SABC
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Высота пирамиды проходит через точку B
. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и прямой, проходящей через середины рёбер BC
и AS
, если известно, что BS=\sqrt{3}AC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах SC\perp AC
. Медиана CD
прямоугольного треугольника ACS
равна половине гипотенузы AS
, медиана BD
прямоугольного треугольника ABS
также половине гипотенузы AS
. Значит, треугольник BDC
— равнобедренный. Его высота DF
является медианой, поэтому F
— середина BC
.
Пусть DE
— перпендикуляр, опущенный из точки D
на ребро AB
. Тогда DE
— средняя линия прямоугольного треугольника ABS
, значит, DE=\frac{1}{2}BS
и DE\parallel BS
, а так как BS
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то DE
— также перпендикуляр к этой плоскости. Поэтому DFE
— угол наклонной DF
с плоскостью основания пирамиды.
Поскольку E
и F
— середины сторон AB
и BC
треугольника ABC
, отрезок EF
— средняя линия треугольника ABC
. Поэтому EF=\frac{1}{2}AC
.
По условию задачи BS=\sqrt{3}AC
, поэтому DE=\sqrt{3}EF
, значит,
\tg\angle DFE=\frac{DE}{EF}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle DFE=60^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012