9152. Основание пирамиды KLMN
— треугольник LMN
. Высота пирамиды проходит через точку L
. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через середины рёбер KL
, KN
, MN
и LM
, если известно, что площадь грани KLN
относится к площади грани LMN
как \sqrt{3}:1
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— середины рёбер KL
, KN
, MN
и ML
соответственно, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на LN
.
Отрезки AB
и CD
— средние линии треугольников KLN
и LMN
, поэтому AB=CD
и AB\parallel CD
. Значит, четырёхугольник ABCD
— параллелограмм. Отрезок BF
— средняя линия прямоугольного треугольника KLN
, поэтому BF\parallel KL
, а так как KL
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то BF
— также перпендикуляр к этой плоскости.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на CD
. По теореме о трёх перпендикулярах HF\perp CD
, поэтому BHF
— линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью ABCD
.
Ребро LN
— общая сторона треугольников KLN
и LMN
, поэтому отношение их высот KL
и MQ
, опущенных на сторону LN
, равно отношению площадей этих треугольников. Значит,
\tg\angle BHF=\frac{BF}{HF}=\frac{\frac{1}{2}KL}{\frac{1}{2}MQ}=\frac{KL}{MQ}=\frac{S_{\triangle KLN}}{S_{\triangle LMN}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle BHF=60^{\circ}
.