9154. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны. Точка M
— середина бокового ребра SD
, точка Q
лежит на прямой CM
, причём Q
— основание общего перпендикуляра прямых AB
и CM
. Найдите отношение CQ:QM
.
Ответ. 4:1
.
Решение. Обозначим AB=AS=a
. Пусть SL
и SN
— апофемы пирамиды, лежащие в боковых гранях ASB
и CSD
соответственно, LK
— высота равнобедренного треугольника LSK
. Тогда прямая LK
перпендикулярна плоскости CSD
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и CD
этой плоскости. Значит, LK
— перпендикуляр к плоскости CSD
.
Пусть SH
— высота пирамиды. Тогда SH
—высота равнобедренного треугольника LSN
со сторонами LN=a
, SN=SL=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам LKS
и LKN
, получим, что LS^{2}-SK^{2}=LN^{2}-NK^{2}
, или
\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-SK^{2}=a^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-SK\right)^{2},
откуда SK=\frac{a\sqrt{3}}{6}
. Тогда
KN=SN-SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Поэтому
\frac{SK}{KN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}.
Пусть медианы SN
и CM
равностороннего треугольника CSD
пересекаются в точке F
, а прямая, проходящая через точку K
параллельно CD
, пересекается с прямой CM
в точке Q_{1}
. Тогда FN=\frac{1}{3}SN=SK
, поэтому KF=\frac{1}{3}SN=FN
, т. е. точка F
— середина отрезка NK
. Из равенства треугольников KFQ_{1}
и NFC
находим, что KQ_{1}=CN=\frac{a}{2}
.
Отрезки KQ_{1}
и AL
равны и параллельны, причём LK\perp KQ_{1}
(так как LK
— перпендикуляр к плоскости CSD
), поэтому четырёхугольник ALKQ_{1}
— прямоугольник. Тогда AQ_{1}\perp AB
и AQ_{1}\perp CM
, следовательно, отрезок AQ_{1}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CM
, а значит, точка Q_{1}
совпадает с указанной в условии точкой Q
.
Пусть прямые CM
и KQ
, лежащие в плоскости CSD
, пересекаются в точке E
. Треугольник SKE
подобен треугольнику SND
с коэффициентом \frac{1}{3}
, поэтому
KE=\frac{1}{3}DN=\frac{a}{6},~EQ=KQ-KE=\frac{a}{2}-\frac{a}{6}=\frac{a}{3}.
Из подобия треугольников EMQ
и DMC
получаем, что
\frac{QM}{MC}=\frac{EQ}{CD}=\frac{\frac{a}{3}}{a}=\frac{1}{3}.
Следовательно, CM:MQ=4:1
.