9158. Точка M
— середина ребра CD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Через вершину A_{1}
проведена плоскость, параллельная прямым AM
и D_{1}M
. Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть N
и K
— середины рёбер D_{1}C_{1}
и AB
соответственно. Тогда A_{1}N\parallel AM
и A_{1}K\parallel D_{1}M
, значит, секущая плоскость — это плоскость, проходящая через прямые A_{1}N
и A_{1}K
. Точка C
лежит в этой плоскости, так как CN\parallel A_{1}K
. Следовательно, сечение, о котором говорится в условии задачи, — параллелограмм A_{1}NCK
.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на CK
. Поскольку MN
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, а MP
— ортогональная проекция наклонной NP
на эту плоскость, то по теореме о трёх перпендикулярах NP\perp CK
, т. е. NP
— высота параллелограмма A_{1}NCK
.
Из прямоугольных треугольников CBK
, CPM
и PMN
находим, что
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2},
MP=\frac{CM\cdot MK}{CK}=\frac{\frac{1}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
NP=\sqrt{MP^{2}+MN^{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}+1}=\sqrt{\frac{6}{5}}.
Следовательно,
S_{A_{1}NCK}=CK\cdot NP=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.