9159. Точка M
— середина ребра CD
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, точки K
и L
— центры граней BB_{1}C_{1}C
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Найдите котангенс угла между прямыми MD_{1}
и KL
, если известно, что AB=2AA_{1}
.
Ответ. 3
.
Решение. Положим AA_{1}=a
, AB=2a
. Отрезок KL
— средняя линия треугольника CB_{1}D_{1}
, значит, KL\parallel D_{1}C
. Следовательно, угол \alpha
между прямыми MD_{1}
и KL
равен углу между прямой MD_{1}
и прямой D_{1}C
, параллельной KL
, т. е. углу CD_{1}M
.
Из прямоугольных треугольников DD_{1}M
и DD_{1}C
находим, что
D_{1}C=\sqrt{CD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5},
MD_{1}=MD\sqrt{2}=a\sqrt{2}.
Тогда по теореме косинусов
\cos\alpha=\cos\angle CD_{1}M=\frac{MD_{1}^{2}+CD_{1}^{2}-CM^{2}}{2MD_{1}\cdot CD_{1}}=\frac{2a^{2}+5a^{2}-a^{2}}{2\cdot a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Следовательно, \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}
, а \ctg\alpha=3
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.11, с. 19