9160. Точка M
— середина медианы BK
основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, N
— центр боковой грани AA_{1}B_{1}B
. Найдите угол между прямой MN
и плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
, если известно, что \frac{AB}{AA_{1}}=2\sqrt{2}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Отрезок MN
— средняя линия треугольника BA_{1}K
, поэтому MN\parallel A_{1}K
. В то же время, если P
— середина ребра A_{1}C_{1}
, то CP\parallel A_{1}K
, значит, MN\parallel CP
. Следовательно, угол между прямой MN
и плоскостью BB_{1}C_{1}C
равен углу между прямой CP
и этой плоскостью.
Положим AA_{1}=a
, AB=2a\sqrt{2}
. Пусть F
и H
— основания перпендикуляров, опущенных на ребро B_{1}C_{1}
из точек A_{1}
и P
соответственно. Прямая A_{1}F
перпендикулярна плоскости BB_{1}C_{1}C
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым B_{1}C_{1}
и CC_{1}
этой плоскости, а так как F
— середина B_{1}C_{1}
, то PH
— средняя линия треугольника A_{1}FC_{1}
, поэтому PH
— также перпендикуляр к плоскости BB_{1}C_{1}C
и
PH=\frac{1}{2}A_{1}F=\frac{1}{2}\cdot2a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Отрезок CH
— ортогональная проекция наклонной PC
к плоскости BB_{1}C_{1}C
, поэтому HCP
— угол прямой CP
(а значит, и прямой MN
) с этой плоскостью.
Из прямоугольного треугольника PC_{1}C
находим, что
PC=\sqrt{PC_{1}^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3},
поэтому
\sin\angle HCP=\frac{PH}{PC}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \angle HCP=45^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5.17, с. 48