9161. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
, высота пирамиды проходит через точку D
, M
— середина бокового ребра SC
. Найдите угол между прямыми AM
и BC
, если известно, что отношение высоты пирамиды к стороне её основания равно \sqrt{11}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Поскольку AD\parallel BC
, угол между скрещивающимися прямыми AM
и BC
равен углу между пересекающимися прямыми AM
и AD
, т.е углу DAM
.
Положим AD=a
, SD=a\sqrt{11}
. Прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD
и SD
плоскости SDC
, поэтому прямая AD
перпендикулярна этой плоскости, значит, AD\perp DM
. Отрезок DM
— медиана прямоугольного треугольника SDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
DM=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{SD^{2}+CD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{11a^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}a\sqrt{12}=a\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника DAM
находим, что
\tg\angle DAM=\frac{DM}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle DAM=60^{\circ}
.