9162. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольная трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
и прямым углом при вершине A
. Высота пирамиды проходит через точку A
, M
— середина бокового ребра SC
. Найдите косинус угла между прямыми AM
и CD
, если известно, что BC=2AD=2AB
и SA=\sqrt{3}AB
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Положим AB=AD=a
, BC=2a
, SA=a\sqrt{3}
. Пусть N
— середина бокового ребра SD
. Тогда MN
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому MN\parallel CD
. Значит, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми AM
и CD
равен углу между пересекающимися прямыми AM
и MN
, т. е. углу AMN
.
Пусть K
— середина BC
. Тогда
MN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+BK^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Из прямоугольных треугольников ABC
, ASC
и ASD
находим, что
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+4a^{2}}=a\sqrt{5},~
SC=\sqrt{AC^{2}+SA^{2}}=\sqrt{5a^{2}+3a^{2}}=2a\sqrt{2},
SD=\sqrt{AD^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a,
а так как AM
и AN
— медианы прямоугольных треугольников ASC
и ASD
, проведённые из вершин прямых углов, то
AM=\frac{1}{2}SC=a\sqrt{2},~AN=\frac{1}{2}SD=a.
По теореме косинусов из треугольника AMN
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle AMN=\frac{AM^{2}+MN^{2}-AN^{2}}{2AM\cdot MN}=\frac{2a^{2}+\frac{a^{2}}{2}-a^{2}}{2\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{4}.