9163. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольная трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
и прямым углом при вершине B
. Высота пирамиды проходит через точку D
, M
— середина бокового ребра SB
. Найдите угол между прямыми AM
и CD
, если известно, что BC=2AD=2AB
и SD=\sqrt{6}AB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Положим AB=AD=a
, BC=2a
, SD=a\sqrt{6}
. Через вершину A
трапеции ABCD
параллельно CD
проведём прямую. Пусть она пересекает основание BC
трапеции в точке K
. Угол между скрещивающимися прямыми AM
и CD
равен углу между пересекающимися прямыми AM
и AK
, т. е. углу MAK
.
Четырёхугольник ADCK
— параллелограмм, поэтому CK=AD=a
, значит, BK=BC-CK=2a-a=a
и CD=AK
. По теореме о трёх перпендикулярах SA\perp AB
, поэтому треугольник SAB
— прямоугольный.
Из прямоугольных треугольников ABK
, SAD
, SAB
и SCD
находим, что
AK=\sqrt{AB^{2}+BK^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2},~
SA=\sqrt{AD^{2}+SD^{2}}=\sqrt{a^{2}+6a^{2}}=a\sqrt{7},
SB=\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{7a^{2}+a^{2}}=2a\sqrt{2},~
SC=\sqrt{SD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{SD^{2}+AK^{2}}=\sqrt{6a^{2}+2a^{2}}=2a\sqrt{2}.
Отрезок MK
— средняя линия треугольника SBC
, поэтому MK=\frac{1}{2}SC=a\sqrt{2}
. Отрезок AM
— медиана прямоугольного треугольника SAB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AM=\frac{1}{2}SB=a\sqrt{2}
. Таким образом, AM=AK=MK
. Следовательно, \angle MAK=60^{\circ}
.