9166. Докажите, что если две сферы пересекаются, то их пересечение есть окружность, причём плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров сфер.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры сфер радиусов r
и R
соответственно. Проведём произвольную плоскость через прямую O_{1}O_{2}
. Эта плоскость пересекает сферы по окружностям с центрами O_{1}
, O_{2}
и радиусами R
и r
. Пусть A
и B
— точки пересечения этих окружностей, O
— точка пересечения прямых AB
и O_{1}O_{2}
, причём O
лежит между O_{1}
и O_{2}
. Выберем прямоугольную систему координат с началом в точке O
, ось Ox
— луч OO_{2}
, ось Oy
— луч OA
, а ось Oz
— луч с началом в точке O
, перпендикулярный плоскости xOy
. Обозначим OO_{2}=a
, OO_{1}=b
. Тогда уравнения сфер имеют вид (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
и (x+b)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}
. Точка M(x;y;z)
принадлежит обеим сферам тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют обоим уравнениям.
Вычитая первое уравнение из второго, получим, что
x=\frac{r^{2}-b^{2}-(R^{2}-a^{2})}{2(a+b)}=\frac{AO^{2}-AO^{2}}{2(a+b)}=0.
Это значит, что точка M
лежит в плоскости yOz
, т. е. в плоскости, проходящей через точку O
перпендикулярно линии центров сфер. Подставляя x=0
в уравнение (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
, получим систему
\syst{y^{2}+z^{2}=R^{2}-a^{2}\\x=0,\\}
которая задаёт окружность с центром O
радиуса \sqrt{R^{2}-a^{2}}
, лежащую в плоскости yOz
.
Аналогично для случая, когда точка O
лежит вне отрезка O_{1}O_{2}
.