9168. Дана прямая призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскость, проходящая через центр основания A_{1}B_{1}C_{1}
и середину K
ребра BC
, параллельна прямой AB
. Эта плоскость пересекает прямую CC_{1}
в точке L
.
а) Докажите, что CL=3CC_{1}
.
б) Найдите угол между прямыми KL
и AC_{1}
, если \angle ACB=90^{\circ}
и AA_{1}=AC=\frac{1}{4}BC
.
Ответ. \arccos\frac{3}{\sqrt{26}}
.
Решение. а) Пусть O
— центр грани A_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскость \alpha
проходит через точку O
параллельно прямой A_{1}B_{1}
, значит, эта плоскость пересекает грань A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, параллельной A_{1}B_{1}
.
Пусть эта прямая пересекает ребро B_{1}C_{1}
в точке P
, а N
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Тогда C_{1}P:PB_{1}=C_{1}O:OB_{1}=2:1
.
Прямая PK
, лежащая в плоскости \alpha
, пересекается с прямой CC_{1}
в точке L
. Пусть H
— проекция точки P
на ребро BC
. Положим B_{1}C_{1}=BC=12t
. Тогда
BH=B_{1}P=4t,~BK=CK=6t,~KH=BK-BH=6t-4t=2t.
Треугольник CKL
подобен треугольнику HKP
с коэффициентом \frac{CK}{KB}=\frac{6t}{2t}=3
. Следовательно, CL=3PH=3CC_{1}
.
б) Из условия задачи следует, что PH=AC=\frac{1}{4}BC=3t
. По теореме Пифагора
PK=\sqrt{PH^{2}+KH^{2}}=\sqrt{9t^{2}+4t^{2}}=t\sqrt{13},
AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+PH^{2}}=\sqrt{9t^{2}+9t^{2}}=3t\sqrt{2},
На продолжении ребра BC
за точку C
отложим отрезок CQ=KH=2t
. Тогда QC_{1}PK
— параллелограмм, поэтому C_{1}Q\parallel PK
. Из прямоугольного треугольника ACQ
находим, что
AQ=\sqrt{CQ^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4t^{2}+9t^{2}}=t\sqrt{13}.
Угол между скрещивающимися прямыми KL
и AC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми C_{1}Q
и AC_{1}
, т. е. углу при основании AC_{1}
равнобедренного треугольника AQC_{1}
. Следовательно,
\cos\angle AC_{1}Q=\frac{\frac{1}{2}AC_{1}}{C_{1}Q}=\frac{\frac{1}{2}\cdot3t\sqrt{2}}{t\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{26}}.