9175. M
— точка пересечения медиан основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, N
— центр боковой грани AA_{1}B_{1}B
.
а) Постройте точку пересечения прямой MN
с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}
.
б) Найдите угол между прямой MN
и плоскостью BB_{1}C
, если известно, что \frac{AB}{AA_{1}}=2\sqrt{3}
.
Ответ. \arcctg2
.
Решение. а) Пусть K
и K_{1}
— середины рёбер AB
и A_{1}B_{1}
. Рассмотрим плоскость CC_{1}K_{1}K
. Прямые C_{1}K
и MN
лежат в этой плоскости. Точка P
пересечения этих прямых лежит в плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, так как она принадлежит прямой C_{1}K_{1}
, лежащей в этой плоскости.
б) Пусть Q
— точка пересечения прямых MN
и CC_{1}
, лежащих в плоскости CC_{1}K_{1}K
. Точка Q
лежит на прямой CC_{1}
, а значит, в плоскости BB_{1}C
. Тогда PQ
— наклонная к этой плоскости.
Пусть M_{1}
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, F
— середина B_{1}C_{1}
. Положим AB=2a\sqrt{3}
, AA_{1}=a
. Тогда
C_{1}K_{1}=CK=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3a,~M_{1}K_{1}=\frac{1}{3}C_{1}K_{1}=a.
Поскольку K_{1}N=NK
и PK_{1}\parallel MK
, треугольники PK_{1}N
и MKN
равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит,
PK_{1}=KM=M_{1}K_{1}=a,
поэтому K_{1}
— середина A_{1}B_{1}
. Диагонали A_{1}B_{1}
и PM_{1}
четырёхугольника A_{1}M_{1}B_{1}P
точкой пересечения K_{1}
делятся пополам, поэтому A_{1}M_{1}B_{1}P
— параллелограмм. Значит, PB_{1}\parallel A_{1}F
, а так как A_{1}F
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C
, то PB_{1}
— также перпендикуляр к этой плоскости. Тогда B_{1}Q
— ортогональная проекция наклонной PQ
на плоскость BB_{1}C
, а PQB_{1}
— угол прямой PQ
, а значит, и прямой MN
, с этой плоскостью.
Отрезок M_{1}F
— средняя линия треугольника PB_{1}C_{1}
, поэтому
PB_{1}=2M_{1}F=2M_{1}K_{1}=2a.
Треугольник PC_{1}Q
подобен треугольнику PK_{1}N
с коэффициентом \frac{PC_{1}}{PK_{1}}=\frac{4a}{a}=4
, значит,
C_{1}Q=4K_{1}N=4\cdot\frac{a}{2}=2a.
По теореме Пифагора
B_{1}Q=\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}Q^{2}}=\sqrt{12a^{2}+4a^{2}}=4a.
Следовательно,
\ctg\angle PQB_{1}=\frac{B_{1}Q}{PB_{1}}=\frac{4a}{2a}=2.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5.18, с. 48