9180. Точки B
и C
лежат на прямой, пересекающей плоскость в точке A
. Докажите, что расстояния от точек B
и C
до плоскости относятся как BA:CA
. В частности, если C
— середина наклонной AB
, то расстояние от точки C
до плоскости вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки B
, а если A
— середина отрезка BC
, то точки B
и C
равноудалены от плоскости.
Решение. Если прямая перпендикулярна плоскости, утверждение очевидно. Пусть BC
— наклонная к плоскости, B'
и C'
— ортогональные проекции точек соответственно B
и C
на плоскость. Тогда расстояния от точек B
и C
до плоскости равны соответственно BB'
и CC'
. Прямоугольные треугольники ABB'
и ACC'
подобны, следовательно, BB':CC'=BA:CA
.