9185. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Точка P
— середина бокового ребра CC_{1}
.
а) Постройте точку пересечения прямой BP
с плоскостью AA_{1}F
.
б) Найдите расстояние между прямыми BP
и AB_{1}
, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2\sqrt{3}
.
Ответ. 3.
Решение. а) Плоскости AA_{1}F_{1}F
и BB_{1}C_{1}
проходят через параллельные прямые AA_{1}
и BB_{1}
соответственно, значит, они пересекаются
Пусть прямые AF
и BC
пересекаются в точке M
, а прямые A_{1}F_{1}
и B_{1}C_{1}
— в точке M_{1}
. Тогда M
и M_{1}
— общие точки этих плоскостей, значит, плоскости пересекаются по прямой MM_{1}
. Пусть Q
— точка пересечения прямых BP
и MM_{1}
. Тогда Q
— точка пересечения прямой BP
с плоскостью AA_{1}F_{1}F
.
б) Пусть O
и O_{1}
— центры оснований ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
соответственно, а M
— середина отрезка OO_{1}
. Из равенства прямоугольных треугольников AOM
и D_{1}O_{1}M
следует, что M
— середина отрезка AD_{1}
. Кроме того, MP=OC=AB
и MP\parallel OC\parallel AB
, значит, AMPB
— параллелограмм, поэтому AM\parallel BP
.
Отрезки AE
и D_{1}B_{1}
равны и параллельны, значит AED_{1}B_{1}
— параллелограмм (даже прямоугольник). Его плоскость содержит прямую AM
, параллельную BP
, значит, прямая BP
параллельна этой плоскости, а расстояние между прямыми BP
и AB_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой BP
до плоскости AED_{1}B_{1}
, например, от точки B
.
Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника ABB_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах AE\perp AB_{1}
, значит, AE
— перпендикуляр к плоскости AA_{1}B_{1}B
, поэтому BH\perp AE
, а так как BH\perp AB_{1}
, то BH
— перпендикуляр к плоскости AED_{1}B_{1}
. Таким образом, расстояние между прямыми BP
и AB_{1}
равно длине отрезка BH
.
Из прямоугольного треугольника ABB_{1}
находим, что
BH=\frac{AB\cdot BB_{1}}{AB_{1}}=\frac{AB\cdot BB_{1}}{\sqrt{AB^{2}+BB_{1}^{2}}}=\frac{6\cdot2\sqrt{3}}{\sqrt{36+12}}=\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.16, с. 57