9196. Дана четырёхугольная пирамида SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
. Точка K
— середина медианы SM
грани CSD
, N
— середина ребра AB
.
а) Постройте точку пересечения прямой KN
с плоскостью ASC
.
б) Найдите угол прямой KN
с плоскостью ASC
, если пирамида правильная, а её боковые грани образуют с плоскостью основания углы, равные 60^{\circ}
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. а) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Точки S
и O
— общие точки плоскостей MSN
и ASC
, значит, SO
— прямая пересечения этих плоскостей. Прямые NK
и SO
, лежащие в плоскости MSN
, пересекаются в некоторой точке P
. Тогда P
— искомая точка пересечения прямой NK
с плоскостью ASC
, причём P
— точка пересечения медиан SO
и NK
треугольника MSN
. Следовательно, NP:PK=2:1
.
б) Угол прямой NK
с плоскостью ASC
— это угол между наклонной NP
и этой плоскостью. Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на диагональ AC
квадрата ABCD
. Тогда прямая NH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и SO
плоскости ASC
, значит, NH
— перпендикуляр к этой плоскости, а искомый угол — это угол NPH
.
Пусть AB=a
. Тогда
MN=a,~NH=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}.
Угол при основании MN
равнобедренного треугольника MSN
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний со стороной a
. Точка P
— его центр, поэтому
NP=\frac{2}{3}NK=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Следовательно,
\sin\angle NPH=\frac{NH}{NP}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5.9, с. 47