9209. Основание пирамиды ABCD
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC
, а боковая грань ACD
— равносторонний треугольник.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC
и произвольную точку M
ребра AD
, — прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D
до этой плоскости, если M
— середина ребра AD
, а высота пирамиды равна 6.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть M'
— ортогональная проекция точки M
на прямую AC
. Тогда MM'
— перпендикуляр к плоскости ABC
, поэтому M'C
— ортогональная проекция наклонной MC
на плоскость ABC
, а так как M'C\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах MC\perp BC
. Следовательно, треугольник BMC
— прямоугольный.
б) Медиана CM
равностороннего треугольника ACD
является его высотой, поэтому AD\perp CM
. По теореме о трёх перпендикулярах AD\perp BC
. Таким образом, прямая AD
(а значит, и DM
) перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM
и BC
плоскости BMC
. Следовательно, DM
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки D
до плоскости BMC
равно длине этого перпендикуляра.
Из прямоугольного треугольника AHD
находим, что
AD=\frac{DH}{\sin60^{\circ}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}.
Следовательно, DM=\frac{1}{2}AD=2\sqrt{3}
.