9212. Основание наклонной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонний треугольник ABC
. Боковые грани AA_{1}B_{1}B
и AA_{1}C_{1}C
— равные ромбы с острым углом при общей вершине A
.
а) Докажите, что боковая грань BB_{1}C_{1}C
— квадрат.
б) Найдите расстояние от вершины A
до плоскости BB_{1}C_{1}C
, если \angle CAA_{1}=60^{\circ}
, а сторона основания призмы равна \sqrt{2}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Пусть A_{1}H
— высота призмы, M
— середина ребра BC
. Поскольку A_{1}B
и A_{1}C
— диагонали равных ромбов AA_{1}B_{1}B
и AA_{1}C_{1}C
, лежащие против острых углов, то A_{1}B=A_{1}C
. Тогда BH=CH
как ортогональные проекции равных наклонных, проведённых к плоскости ABC
из одной точки. Точка H
равноудалена от концов отрезка BC
, значит, H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
равностороннего треугольника ABC
, т. е. на прямой AM
.
Поскольку AM
— высота равностороннего треугольника ABC
, а AM
— ортогональная проекция прямой AA_{1}
на плоскость ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AA_{1}\perp BC
, а так как BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel AA_{1}
и BB_{1}=AB=BC
, то параллелограмм BB_{1}C_{1}C
— квадрат.
б) Поскольку AA_{1}\parallel BB_{1}
, прямая AA_{1}
параллельна плоскости BB_{1}C_{1}C
. Значит, расстояние от точки A
до плоскости BB_{1}C_{1}C
равно расстоянию до этой плоскости от точки A_{1}
.
Угол при вершине B_{1}
равнобедренного треугольника A_{1}B_{1}B
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Тогда A_{1}B_{1}=A_{1}B=BC
. Аналогично A_{1}C=BC
. Следовательно, A_{1}BB_{1}C_{1}C
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной A_{1}
, а все рёбра этой пирамиды равны \sqrt{2}
. Искомое расстояние равно высоте этой пирамиды, т. е.
\sqrt{BC^{2}-\left(\frac{A_{1}B_{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\sqrt{2-1}=1.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.20, с. 38