9220. Точки M
и N
— середины боковых рёбер соответственно AA_{1}
и CC_{1}
прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Докажите, что отрезок, соединяющий вершину B_{1}
с серединой ребра AC
делится плоскостью BMN
в отношении 2:1
, считая от точки B_{1}
.
б) Найдите угол между плоскостями AA_{1}C_{1}
и MBN
, если AB=BC=15
, AC=24
и AA_{1}=144
.
Ответ. \arctg\frac{1}{8}
.
Решение. а) Пусть K
и L
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно. Тогда отрезки MN
и KL
делятся их точкой пересечения P
пополам.
Поскольку P
и B
— общие точки плоскостей BMN
и BB_{1}LK
, эти плоскости пересекаются по прямой BP
. Прямые BP
и B_{1}K
, лежащие в плоскости BB_{1}LK
пересекаются в некоторой точке Q
. Тогда Q
— точка пересечения прямой B_{1}K
с плоскостью BMN
.
Треугольник BQB_{1}
подобен треугольнику PQK
с коэффициентом \frac{BB_{1}}{KP}=\frac{BB_{1}}{\frac{1}{2}KL}=2
. Следовательно, B_{1}M:QK=2:1
.
б) Из равенства прямоугольных треугольников BAM
и BCN
следует, что BM=BN
, т. е. треугольник BMN
равнобедренный. Его медиана BP
является высотой, значит, BP\perp MN
, а так как PK\perp MN
, то BPK
— линейный угол искомого угла между плоскостями AA_{1}C_{1}
и MBN
. Из прямоугольных треугольников BKC
и BKP
находим, что
BK=\sqrt{BC^{2}-CK^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9,
\tg\angle BPK=\frac{BK}{PK}=\frac{BK}{\frac{KL}{2}}=\frac{9}{72}=\frac{1}{8}.
Следовательно, \angle BPK=\arctg\frac{1}{8}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.9, с. 28