9224. Основания призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонние треугольники. Точки M
и M_{1}
— центры оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно.
а) Докажите, что угол между прямыми BM
и C_{1}M_{1}
равен 60^{\circ}
.
б) Найдите угол между прямыми BM_{1}
и C_{1}M
, если призма прямая и AB:AA_{1}=3:2
.
Ответ. \arccos\frac{11}{14}=2\arctg\frac{\sqrt{3}}{5}
.
Решение. а) Пусть N
— середина ребра AB
. Поскольку M_{1}C_{1}\parallel MC
, угол между прямыми BM
и C_{1}M_{1}
равен углу между прямыми BM
и CM
, т. е. углу BMN
, равному 60^{\circ}
.
б) На продолжении отрезка MN
за точку N
отложим отрезок NK=MN
. Тогда MK=2MN=MC=M_{1}C_{1}
и MK\parallel M_{1}C_{1}
, значит, четырёхугольник KMC_{1}M_{1}
— параллелограмм, поэтому B_{1}K\parallel C_{1}M
и B_{1}K=C_{1}M
. Следовательно, угол между прямыми BM_{1}
и C_{1}M
равен углу между прямыми BM_{1}
и KM_{1}
, т. е. углу BM_{1}K
.
Пусть AB=3a
, AA_{1}=2a
. Тогда
BM=CM=\frac{2}{3}CN=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=a\sqrt{3},
MC_{1}=BM_{1}=\sqrt{BM^{2}+MM_{1}^{2}}=\sqrt{3a^{2}+4a^{2}}=a\sqrt{7}.
Диагонали AB
и KM
четырёхугольника AKBM
делятся точкой пересечения N
пополам, значит, AKBM
— параллелограмм, поэтому
BK=AM=CM=a\sqrt{3}.
Из треугольника BM_{1}K
по теореме косинусов находим, что
\cos\angle BM_{1}K=\frac{BM_{1}^{2}+KM_{1}^{2}-BK^{2}}{2BM_{1}\cdot KM_{1}}=\frac{7a^{2}+7a^{2}-3a^{2}}{2\cdot7a^{2}}=\frac{11}{14}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.5, с. 18