9225. Основание прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Точка M
— середина ребра AB
. Известно, что AB=2AA_{1}
.
а) Докажите, что прямые A_{1}C
и MB_{1}
перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми AC_{1}
и MB_{1}
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}
.
Решение. а) Пусть AA_{1}=a
, AB=2a
. Тогда
AM=BM=a,~AC=BC=a\sqrt{2},~A_{1}M=B_{1}M=a\sqrt{2},
Значит, треугольник A_{1}MB_{1}
равен треугольнику ACB
по трём сторонам, поэтому
\angle A_{1}MB_{1}=\angle ACB=90^{\circ}.
Прямая CM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и AA_{1}
плоскости AA_{1}B_{1}B
, значит, CM
— перпендикуляр к этой плоскости, а A_{1}M
— ортогональная проекция наклонной CA_{1}
на эту плоскость. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах A_{1}C\perp MB_{1}
.
б) Пусть K
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Тогда противоположные стороны AM
и KB_{1}
четырёхугольника AMB_{1}K
равны и параллельны, значит, AMB_{1}K
— параллелограмм, поэтому AK\parallel MB_{1}
. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AC_{1}
и MB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми AC_{1}
и AK
, т. е. углу KAC_{1}
.
Из прямоугольных треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
, AA_{1}K
и AA_{1}C_{1}
находим, что
C_{1}K=a,~AK=a\sqrt{2},~AC_{1}=a\sqrt{3}.
Следовательно,
\cos\angle KAC_{1}=\frac{AK^{2}+AC_{1}^{2}-C_{1}K^{2}}{2AK\cdot AC_{1}}=\frac{2a^{2}+3a^{2}-a^{2}}{2a^{2}\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.