9228. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка K
— середина ребра SD
.
а) Плоскость проходит через точку K
параллельно медианам BM
и SN
граней BSC
и ASD
. Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью основания пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми BM
и SN
, если пирамида SABCD
правильная, причём все её рёбра равны.
Ответ. \arccos\frac{1}{6}
.
Решение. а) Пусть P
— середина отрезка DN
, а L
— середина ребра AB
. Тогда KP
— средняя линия треугольника DSN
, поэтому KP\parallel SN
; KM
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому KM\parallel CD\parallel BL
и KM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=BL
. Значит, BMKL
— параллелограмм, и KL\parallel BM
. Плоскость KLP
проходит через точку K
и содержит прямые KP
и KL
, соответственно параллельные SN
и BM
. Следовательно, плоскость PKL
удовлетворяет условию задачи, а её пересечение с плоскостью основания пирамиды — прямая PL
.
б) Угол между скрещивающимися прямыми BM
и SN
равен углу между соответственно параллельными им прямыми KL
и KP
, т. е. углу LKP
.
Пусть все рёбра пирамиды равны a
. Тогда
AP=\frac{3a}{4},~AL=\frac{a}{2},~KL=KM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~KP=\frac{1}{2}SN=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Из прямоугольного треугольника LAP
находим, что
PL^{2}=AP^{2}+AL^{2}=\frac{9a^{2}}{16}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{13a^{2}}{16}.
Следовательно, по теореме косинусов
\cos\angle LKP=\frac{KP^{2}+KL^{2}-PL^{2}}{2KP\cdot KL}=\frac{\frac{3a^{2}}{16}+\frac{3a^{2}}{4}-\frac{13a^{2}}{16}}{\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{1}{6}.