9230. Основание призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильный шестиугольник ABCDEF
.
а) Постройте точку пересечения прямой B_{1}E
с плоскостью ACD_{1}
.
б) Найдите угол между прямыми AB_{1}
и BD_{1}
, если призма правильная, а AA_{1}:AB=\sqrt{3}:1
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. а) Поскольку AC\parallel D_{1}F_{1}
точка F_{1}
лежит в плоскости ACD_{1}
. Сечение призмы этой плоскостью — параллелограмм ACD_{1}F_{1}
. Пусть M
— точка пересечения отрезков AC
и BE
, а M_{1}
— точка пересечения отрезков D_{1}F_{1}
и B_{1}E_{1}
. Тогда M
и M_{1}
— середины отрезков AC
и D_{1}F_{1}
.
Поскольку M
и M_{1}
— общие точки плоскостей ACD_{1}
и BB_{1}E_{1}E
, эти плоскости пересекаются по прямой MM_{1}
. Прямые B_{1}E
и MM_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}E_{1}E
, пересекаются в некоторой точке Q
. Следовательно, Q
— искомая точка пересечения прямой B_{1}E
с плоскостью ACD_{1}
.
Из равенства треугольников MQE
и M_{1}QB_{1}
следует, что Q
— общая середина отрезков B_{1}E
и MM_{1}
б) Прямая AB_{1}
параллельна прямой ED_{1}
, поэтому угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и BD_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми ED_{1}
и BD_{1}
, т. е. углу BD_{1}E
.
Пусть AB=a
, AA_{1}=a\sqrt{3}
. Тогда BD=a\sqrt{3}
, BE=2a
. Из прямоугольных треугольников EDD_{1}
и BDD_{1}
находим, что
ED_{1}=\sqrt{D_{1}E_{1}^{2}+ED_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a,~
BD_{1}=\sqrt{BD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{3a^{2}+3a^{2}}=a\sqrt{6}.
Треугольник BED_{1}
равнобедренный. Его высота EH
является медианой. Из прямоугольного треугольника EHD_{1}
находим, что
\cos\angle BD_{1}E=\cos\angle HD_{1}E=\frac{D_{1}K}{ED_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{4}.