9236. Основание пирамиды SABCD
— ромб ABCD
с углом 60^{\circ}
при вершине A
. Боковое ребро SD
перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
а) Докажите, что прямые AC
и SB
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания пирамиды равна 2\sqrt{2}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Поскольку SD
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, диагональ BD
ромба — ортогональная проекция наклонной SB
на плоскость основания, а так как диагонали ромба перпендикулярны, то по теореме о трёх перпендикулярах SB\perp BD
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
ромба ABCD
на ребро SB
. Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и SD
плоскости BSD
, поэтому прямая AC
перпендикулярна этой плоскости. Значит, OH\perp AC
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и SB
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
Треугольник ABD
равносторонний, поэтому BD=AB=2\sqrt{2}
Из равнобедренного прямоугольного треугольника SBD
находим, что SB=SD\sqrt{2}=4
. Пусть DP
— высота этого треугольника SBD
. Тогда DP=\frac{1}{2}SB=2
. а так как OH
— средняя линия треугольника SBD
, то
OH=\frac{1}{2}DP=1.