9239. Основание прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
, а боковая грань AA_{1}C_{1}C
— квадрат.
а) Докажите, что прямые CB_{1}
и AC_{1}
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если AC=2
, AB_{1}=2\sqrt{3}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Прямая B_{1}A_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}C_{1}
и AA_{1}
плоскости AA_{1}C_{1}C
, значит, B_{1}A_{1}
— перпендикуляр к этой плоскости, а A_{1}C
— ортогональная проекция наклонной B_{1}C
на эту плоскость. Диагонали квадрата перпендикулярны, т. е. A_{1}C\perp AC_{1}
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах CB_{1}\perp AC_{1}
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
квадрата AA_{1}C_{1}C
на диагональ CB_{1}
грани BB_{1}C_{1}C
. Прямая AC_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CA_{1}
и A_{1}B_{1}
плоскости A_{1}CB_{1}
, поэтому прямая CA_{1}
перпендикулярна этой плоскости. Значит, OH\perp AC_{1}
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CB_{1}
и AC_{1}
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольных треугольников AA_{1}B_{1}
и A_{1}CB_{1}
находим, что
A_{1}B_{1}=\sqrt{AB_{1}^{2}-AA_{1}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-2^{2}}=2\sqrt{2},
CB_{1}=\sqrt{A_{1}B_{1}^{2}+CA_{1}^{2}}=\sqrt{8+8}=4.
Пусть A_{1}P
— высота равнобедренного прямоугольного треугольника A_{1}CB_{1}
. Тогда A_{1}P=\frac{1}{2}CB_{1}=2
, а так как OH
— средняя линия треугольника CA_{1}P
, то
OH=\frac{1}{2}A_{1}P=1.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.4, с. 56