9248. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Плоскость \alpha
проходит через прямую BA_{1}
параллельно прямой CB_{1}
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит диагональ AC_{1}
параллелепипеда в отношении 1:2
, считая от вершины A
.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \alpha
, если он прямой, его основание ABCD
— ромб с диагоналями AC=10
и BD=8
, а боковое ребро параллелепипеда равно 12.
Ответ. 52.
Решение. а) Плоскость BA_{1}D
проходит через прямую BA_{1}
и прямую DA_{1}
, параллельную CB_{1}
, значит, эта плоскость совпадает с плоскостью \alpha
.
Пусть O
— центр грани ABCD
. Поскольку A_{1}
и O
— общие точки плоскостей BA_{1}D
и AA_{1}C_{1}C
, эти плоскости пересекаются по прямой A_{1}O
. Пусть прямые A_{1}O
и AC_{1}
, лежащие в плоскости AA_{1}C_{1}C
, пересекаются в точке M
. Тогда M
— точка пересечения прямой AC_{1}
с плоскостью BA_{1}D
.
Из подобия треугольников AMO
и C_{1}MA_{1}
получаем, что
\frac{OM}{MA_{1}}=\frac{OA}{A_{1}C_{1}}=\frac{OA}{AC}=\frac{1}{2}.
б) Отрезок AO
— ортогональная проекция наклонной A_{1}O
на плоскость ABCD
, а так как ABCD
— ромб, то AO\perp BD
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах A_{1}O\perp BD
. Значит, A_{1}O
— высота треугольника BA_{1}D
.
По теореме Пифагора
A_{1}O=\sqrt{AO^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.
Следовательно,
S_{\triangle BA_{1}D}=\frac{1}{2}BD\cdot A_{1}O=4\cdot13=52.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.21, с. 66