9253. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=8
и BC=6
. Длины боковых рёбер пирамиды SA=\sqrt{21}
, SB=\sqrt{85}
, SD=\sqrt{57}
.
а) Докажите, что SA
— высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC
и BD
.
Ответ. \arccos\frac{14}{55}
.
Решение. а) Треугольник SAB
прямоугольный с гипотенузой SB
и прямым углом SAB
, так как
SB^{2}=85=21+64=SA^{2}+AB^{2}.
Аналогично, из равенства
SD^{2}=57=21+36=SA^{2}+AD^{2}
получаем, что \angle SAD=90^{\circ}
. Поскольку прямая SA
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и AD
плоскости ABD
, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости.
б) На прямой AB
отметим такую точку E
, что BDCE
— параллелограмм. Тогда BE=DC=AB
, CE=DB
и CE\parallel DB
. Значит, угол между прямыми SC
и BD
равен углу между прямыми SC
и CE
. Найдём угол SCE
. По теореме Пифагора
BD=AC=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=10,~SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=11,
SE^{2}=SA^{2}+AE^{2}=277.
По теореме косинусов
SE^{2}=SC^{2}+CE^{2}-2SC\cdot CE\cos\angle SCE,
277=121+100-220\cos\angle SCE,~\cos\angle SCE=-\frac{14}{55}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{14}{55}
.
Источник: ЕГЭ. — 2015