9254. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=4
и BC=3
. Длины боковых рёбер пирамиды SA=\sqrt{11}
, SB=3\sqrt{3}
, SD=2\sqrt{5}
.
а) Докажите, что SA
— высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC
и плоскостью ASB
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. а) Треугольник SAB
прямоугольный с гипотенузой SB
и прямым углом SAB
, так как
SB^{2}=27=11+16=SA^{2}+AB^{2}.
Аналогично, из равенства
SD^{2}=20=11+9=SA^{2}+AD^{2}
получаем, что \angle SAD=90^{\circ}
. Поскольку прямая SA
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и AD
плоскости ABD
, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости.
б) Прямая CB
перпендикулярна пересекающимся прямым SA
и AB
плоскости ASB
, значит, CB
— перпендикуляр к этой плоскости, а SB
— ортогональная проекция наклонной SC
на эту плоскость, поэтому искомый угол — это угол BSC
. Из прямоугольного треугольника BCS
находим, что
\tg\angle BSC=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \angle BSC=30^{\circ}
.
Источник: ЕГЭ. — 2015