9261. Существует ли тетраэдр ABCD
, в котором AB=AC=AD=BC
, а суммы плоских углов при каждой из вершин B
и C
равны по 150^{\circ}
?
Ответ. Нет, не существует.
Решение. Предположим, что такой тетраэдр существует. Тогда его грани BAD
и ACD
— равнобедренные треугольники. Обозначим
\angle ADB=\angle ABD=\alpha,~\angle DBC=\beta,~\angle DCB=\gamma,~\angle ADC=\angle ACD=\delta.
Тогда \angle BDC=180^{\circ}-\beta-\gamma
.
Треугольник ABC
равносторонний, поэтому
\alpha+\beta+60^{\circ}=\gamma+\delta+60^{\circ}=150^{\circ},
Значит,
\alpha+\beta=\gamma+\delta=90^{\circ},~\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}.
Тогда
\angle BDC=180^{\circ}-\beta-\gamma=\alpha+\delta,
т. е.
\angle BDC=\angle BDA+\angle CDA,
что невозможно, так как сумма двух плоских углов трёхгранного угла, больше третьего (см. задачу 7428).