9263. В конус вписан шар. Около этого шара описан цилиндр, основание которого лежит в плоскости основания данного конуса. V_{1}
— объём конуса и V_{2}
— объём цилиндра.
а) Докажите, что равенство V_{1}=V_{2}
невозможно.
б) Укажите, наименьшее значение k
, при котором имеет место равенство V_{1}=kV_{2}
, и постройте для этого случая угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. б) \frac{4}{3}
.
Решение. Сечение конуса, цилиндра и шара плоскостью, проходящей через общую ось конуса и цилиндра, — равнобедренный треугольник ABC
с вершиной B
, углом 2\alpha
при этой вершине и высотой BD=h
, вписанная в него окружность радиуса r
с центром O
, касающаяся AC
и BC
в точках D
и E
соответственно, и квадрат со стороной на AC
, описанный около окружности. Пусть объём конуса равен v
, объём цилиндра равен u
. Тогда
h=BD=BO+OD=\frac{OE}{\sin\angle DBC}=\frac{r}{\sin\alpha}+r=\frac{r(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha},
DC=BD\tg\angle CBD=\frac{r\tg\alpha(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha},
v=\frac{1}{3}\pi DC^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{r^{2}\tg^{2}\alpha(1+\sin\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha}\cdot\frac{r(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha}=
=\frac{\pi r^{3}(1+\sin\alpha)^{3}}{3\sin\alpha\cos^{2}\alpha}=\frac{\pi r^{3}(1+\sin\alpha)^{2}}{3\sin\alpha(1-\sin\alpha)},~u=2\pi r^{3}.
Пусть \frac{v}{u}=k
. Тогда
k=\frac{(1+\sin\alpha)^{2}}{6\sin\alpha(1-\sin\alpha)}~\Leftrightarrow~(1+6k)\sin^{2}\alpha+2(1-3k)\sin\alpha+1=0.
Последнее уравнение имеет решение, если
\frac{D}{4}=(1-3k)^{2}-(1+6k)=3k(3k-4)\geqslant0,
откуда k\geqslant\frac{4}{3}
. Следовательно, равенство k=1
невозможно.
При k=\frac{4}{3}
получаем, что \sin\alpha=\frac{1}{3}
и OB=3r
. Следовательно, угол \alpha
можно построить как острый угол прямоугольного треугольника с противолежащим катетом, втрое меньшим гипотенузы.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1960, II
Источник: Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — , № 13, с. 26