9264. В тетраэдре длина одного, и только одного ребра больше 1. Докажите, что объём тетраэдра не превосходит \frac{1}{8}
.
Решение. Пусть AB
— наибольшее ребро тетраэдра ABCD
. Тогда AB\gt1
, а остальные рёбра не превосходят 1. Проведём высоты AF
и BK
граней ACD
и BCD
. Тогда
AF=\sqrt{AC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}.
Обозначим CD=a\leqslant1
. Если CF\geqslant\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}
, то AF\leqslant\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}
. Если CF\lt\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}
, то DF\geqslant\frac{a}{2}
, поэтому AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}\leqslant\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}
. Таким образом, в обоих случаях AF\leqslant\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}
. Аналогично BK\leqslant\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}
.
Пусть AS
— высота тетраэдра, а его объём равен V(a)
. Тогда AS\leqslant AF\leqslant\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}
, значит,
V(a)=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AS=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}CD\cdot BK\cdot AS\leqslant
\leqslant\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}\cdot\sqrt{1-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{6}a\left(1-\frac{a^{2}}{4}\right)=\frac{1}{24}a(4-a^{2}).
Докажем, что наибольшее значение функции 24V(a)
на отрезке [0;1]
равно 3. Действительно,
24V(a)\leqslant3~\Leftrightarrow~a(4-a^{2})\leqslant~3~\Leftrightarrow~a^{3}-4a+3\geqslant0~\Leftrightarrow~(a-1)(a^{2}+a-3)\geqslant0
(при 0\leqslant a\leqslant1
верны неравенства a-1\leqslant0
и a^{2}+a-3\lt0
). При этом a=1
единственное значение a\in[0;1]
, для которого 24V(a)=3
. Тогда V(1)=\frac{1}{8}
.
Осталось проверить, что тетраэдр с объёмом, равным \frac{1}{8}
, удовлетворяющий условиям задачи, существует.
Пусть AC=CD=AD=BC=BD=1
, а плоскости граней ACD
и BCD
перпендикулярны. Тогда, если F
— середина CD
, то V_{ABCD}=\frac{1}{8}
и
AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\gt1.