9266. Пусть точка A'
— точка, лежащая в грани CBD
тетраэдра ABCD
и равноудалённая от прямых AB
, AC
и AD
. Докажите, что:
а) плоскости AA'B
и AA'C
образуют равные углы с плоскостью ABC
.
б)
\angle A'B_{1}O=\frac{1}{2}(\angle AB+\angle AC-\angle AD),
где O
— ортогональная проекция точки A'
на плоскость ABC
, а \angle AB
, \angle AC
и \angle AD
— двугранные углы тетраэдра ABCD
при рёбрах AB
, AC
и AD
соответственно.
Решение. а) Пусть O
— ортогональная проекция точки A'
на плоскость ABC
, а B_{1}
и C_{1}
— ортогональные проекции A'
на прямые AB
и AC
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что OB_{1}A'
и OC_{1}A'
— линейные углы двугранных углов, о которых говорится в условии задачи. Кроме того, A'B_{1}
и A'C_{1}
— перпендикуляры к прямым AB
и AC
, значит, A'B_{1}=A'C_{1}
, поэтому прямоугольные треугольники B_{1}A'O
и C_{1}A'O
равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \angle OB_{1}A'=\angle OC_{1}A'
. Что и требовалось доказать.
б) Аналогично предыдущему докажем, что плоскости AA'B
и AA'D
образуют равные углы с плоскостью ABD
, а плоскости AA'C
и AA'D
— с плоскостью ADC
.
Пусть P
и Q
— ортогональные проекции точки A'
на плоскости ACD
и BAD
соответственно, а D_{1}
— ортогональная проекция точки A'
на прямую AD
. Обозначим
\angle A'D_{1}Q=\angle A'B_{1}Q=\alpha,~\angle A'B_{1}O=\angle A'C_{1}O=\beta,~\angle A'D_{1}P=\angle A'C_{1}P=\gamma.
Тогда
\angle AB=\alpha+\beta,~\angle AC=\beta+\gamma,~\angle AD=\alpha+\gamma.
Сложим два первых равенства и вычтем из результата третье. Получим, что
2\angle A'B_{1}O=2\beta=\angle AB+\angle AC-\angle AD.
Следовательно,
\angle A'B_{1}O=\beta=\frac{1}{2}(\angle AB+\angle AC-\angle AD).
Что и требовалось доказать.