9279. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Боковое ребро пирамиды равно стороне основания. Точки M
, N
, P
, Q
— середины рёбер AB
, SC
, BC
, SB
соответственно. Найдите:
а) угол между прямыми SM
и BN
;
б) угол между прямыми SP
и AQ
.
Ответ. а) \arccos\frac{5}{6}
; б) \arccos\frac{1}{6}
.
Решение. а) Пусть все рёбра пирамиды равны a
, K
— середина ребра SD
. Отрезок KN
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому KN\parallel CD\parallel AB
и KN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD
. Противоположные стороны KN
и BM
четырёхугольника BMKN
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, KM\parallel BN
, и угол между скрещивающимися прямыми SM
и BN
равен углу между пересекающимися прямыми SM
и KM
, т. е. углу KMS
. В треугольнике KMS
известно, что SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
, KM=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и KS=\frac{a}{2}
. По теореме косинусов
\cos\angle KMS=\frac{KM^{2}+SM^{2}-KS^{2}}{2KM\cdot SM}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{6}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{5}{6}
.
б) Пусть все рёбра пирамиды равны a
, E
— середина отрезка BP
. Тогда QE
— средняя линия треугольника BSP
, поэтому QE\parallel SP
, и угол между скрещивающимися прямыми SP
и AQ
равен углу между пересекающимися прямыми QE
и AQ
, т. е. либо углу AQE
либо углу, смежному с ним. В треугольнике AQE
известно, что
AQ=\frac{a\sqrt{3}}{2},~QE=\frac{1}{2}SP=\frac{a\sqrt{3}}{4},
AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{17}}{4}.
\cos\angle AQE=\frac{AQ^{2}+QE^{2}-AE^{2}}{2AQ\cdot QE}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{16}-\frac{17a^{2}}{16}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}}=-\frac{1}{6}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{1}{6}
.