9282. Точка O
— центр грани ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Боковое ребро призмы равно стороне основания. Найдите угол между прямыми AB_{1}
и C_{1}O
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Пусть все рёбра призмы равны a
, M
— середина ребра AC
. Достроим равносторонний треугольник ABC
до параллелограмма ABCD
. Тогда AD\parallel BC\parallel B_{1}C_{1}
и AD=BC=B_{1}C_{1}
, поэтому четырёхугольник AB_{1}C_{1}D
— параллелограмм. Значит, DC_{1}\parallel AB_{1}
, поэтому угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и C_{1}O
равен углу между пересекающимися прямыми DC_{1}
и C_{1}O
, т. е. углу OC_{1}D
.
Поскольку
OD=OM+MD=BM+MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{2a\sqrt{3}}{3},
OC_{1}=\sqrt{CC_{1}^{2}+OC^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3},
треугольник OC_{1}D
равнобедренный с основанием DC_{1}=AB_{1}=a\sqrt{2}
. Его медиана OK
является высотой, значит,
\cos\angle OC_{1}D=\frac{C_{1}K}{OC_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{\sqrt{6}}{4}
.