9296. Радиус основания конуса с вершиной P
равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки A
и B
, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2
.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A
, B
и P
.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP
.
Ответ. 3\sqrt{66}
.
Решение. а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A
, B
и P
, — равнобедренный треугольник APB
.
б) Градусные меры дуг пропорциональны длинам дуг, значит, точки A
и B
делят окружность на две дуги с градусными мерами 120^{\circ}
и 240^{\circ}
. Пусть O
— центр окружности основания конуса, а \angle AOB=120^{\circ}
. Опустим перпендикуляр OM
из центра окружности на хорду AB
. Тогда M
— середина AB
(см. задачу 1676), а PM
— медиана и высота равнобедренного треугольника APB
со сторонами PA=PB=7
и AB=OA\sqrt{3}=6\sqrt{3}
. Значит,
PM=\sqrt{PA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{49-27}=\sqrt{22}.
Следовательно,
S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}AB\cdot PM=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot\sqrt{22}=3\sqrt{66}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 9.11, с. 82