9303. Точки K
и M
— середины рёбер соответственно AB
и B_{1}C_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, точка L
лежит на ребре CC_{1}
, причём CL:LC_{1}=2:1
.
а) Пусть N
— точка пересечения плоскости KLM
с ребром AC
. Докажите, что AN:NC=2:1
.
б) Найдите угол прямой MN
с плоскостью BB_{1}C_{1}C
, если призма правильная и AA_{1}:AB=\sqrt{5}:6
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. а) Пусть прямые ML
и BC
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, пересекаются в точке D
. Тогда точка N
пересечения плоскости KLM
с ребром AC
— это точка пересечения прямых DK
и AC
.
Треугольник CLD
подобен треугольнику C_{1}LM
с коэффициентом \frac{CL}{LC_{1}}=2
, поэтому CD=2C_{1}M=C_{1}B_{1}=BC
, т. е. C
— середина стороны BD
треугольника ABD
. Медианы AC
и DK
этого треугольника пересекаются в точке N
, следовательно, AN:NC=2:1
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на сторону BC
. Тогда NH\perp BC
и NH\perp BB_{1}
, значит, NH
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C_{1}C
, MH
— ортогональная проекция наклонной MN
на эту плоскость, а NMH
— угол наклонной MN
с этой плоскостью.
Положим AA_{1}=a\sqrt{5}
, AB=6a
. Пусть E
— середина ребра BC
. Тогда
CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=3a,~CH:CE=CN:CA=1:3,~EH=\frac{2}{3}CE=2a,
NH=\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot6a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3},
MH=\sqrt{ME^{2}+EH^{2}}=\sqrt{5a^{2}+4a^{2}}=3a,
\tg\angle NMH=\frac{NH}{MH}=\frac{a\sqrt{3}}{3a}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \angle NMH=30^{\circ}
.