9314. Точка M
— середина ребра BB_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей A_{1}MC_{1}
и ABC
.
б) В каком отношении плоскость A_{1}MC_{1}
делит отрезок, соединяющий точку B_{1}
с серединой ребра AC
?
Ответ. 1:2
, считая от точки B_{1}
.
Решение. а) Пусть прямые A_{1}M
и AB
, лежащие в плоскости AA_{1}B_{1}B
, пересекаются в точке P
, а прямые C_{1}M
и BC
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, — в точке Q
. Тогда P
и Q
— общие точки плоскостей A_{1}MC_{1}
и ABC
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой PQ
.
б) Пусть K
и L
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно. Пусть N
— точка пересечения прямых B_{1}K
и LM
, лежащих в плоскости BB_{1}LK
. Тогда N
— точка пересечения отрезка B_{1}K
с плоскостью A_{1}MC_{1}
. Треугольник KNL
подобен треугольнику B_{1}NM
с коэффициентом \frac{KL}{B_{1}M}=2
, следовательно, B_{1}N:NK=1:2
.