9320. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ASB
и ESF
.
б) Найдите расстояние от центра основания пирамиды до этой прямой, если пирамида правильная, сторона её основания равна \sqrt{6}
, а высота пирамиды равна 3\sqrt{2}
.
Ответ. 3.
Решение. а) Пусть прямые AB
и EF
, лежащие в плоскостях соответственно ASB
и ESF
, пересекаются в точке P
. Тогда точки P
и S
— общие точки плоскостей ASB
и ESF
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой SP
.
б) Пусть O
— центр основания ABCDEF
правильной пирамиды SABCDEF
, OH
— высота треугольника POS
. Тогда расстояние от точки O
до прямой SP
равно длине отрезка OH
.
Отрезок OP
— высота равностороннего треугольника BPE
со стороной BE=2AF=2\sqrt{6}
. Тогда
OP=\frac{BE\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2},~SP=\sqrt{SO^{2}+OP^{2}}=\sqrt{18+18}=6,
а так как OH
— высота и медиана равнобедренного прямоугольного треугольника POS
, то
OH=\frac{1}{2}SP=3.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1, с. 107