9321. Основания шестиугольная призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники.
а) Докажите, что диагонали AD_{1}
, BE_{1}
и CF_{1}
призмы пересекаются в одной точке.
б) Найдите угол между прямыми DA_{1}
и BC_{1}
, если призма правильная и AA_{1}=AB\sqrt{2}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. а) Противоположные стороны AB
и D_{1}E_{1}
четырёхугольника ABD_{1}E_{1}
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Диагонали AD_{1}
и BE_{1}
этого параллелограмм точкой пересечения O
делятся пополам. Аналогично BCE_{1}F_{1}
— также параллелограмм. Его диагональ CF_{1}
проходит через точку O
, так как она должна пройти через середину диагонали BE_{1}
.
б) Пусть Q
— центр основания ABCDEF
. Тогда BQ=CD=C_{1}D_{1}
и BQ\parallel CD\parallel C_{1}D_{1}
. Противоположные стороны BQ
и C_{1}D_{1}
четырёхугольника BC_{1}D_{1}Q
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, QD_{1}\parallel BC_{1}
.
Угол между скрещивающимися прямыми DA_{1}
и BC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми DA_{1}
и QD_{1}
, т. е. углу DMD_{1}
, где M
— точка пересечения A_{1}D
и QD_{1}
.
Поскольку призма правильная, AA_{1}D_{1}D
— прямоугольник. Обозначим \angle DA_{1}D_{1}=\alpha
. Прямоугольные треугольники DD_{1}Q
и D_{1}A_{1}D
подобны, так как \frac{DD_{1}}{DQ}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}
и \frac{A_{1}D_{1}}{DD_{1}}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}
, т. е. \frac{DD_{1}}{DQ}=\frac{A_{1}D_{1}}{DD_{1}}
. Значит, \angle DD_{1}Q=\angle DA_{1}D_{1}=\alpha
, а так как \angle MDD_{1}=\angle A_{1}DD_{1}=90^{\circ}-\alpha
, то
\angle DMD_{1}=180^{\circ}-\angle DD_{1}M-\angle MDD_{1}=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2, с. 112