9323. Точка M
— середина ребра B_{1}C_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Прямые BA_{1}
и CB_{1}
перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник BMA_{1}
равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
равно 2.
Ответ. 36.
Решение. а) Прямая A_{1}M
перпендикулярна двум пересекающимся прямым B_{1}C_{1}
и BB_{1}
плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, A_{1}M
— перпендикуляр к этой плоскости, MB
— ортогональная проекция наклонной A_{1}B
на эту плоскость, а наклонная A_{1}B
перпендикулярна прямой CB_{1}
, лежащей в плоскости BB_{1}C_{1}C
. По теореме о трёх перпендикулярах CB_{1}\perp BM
.
Обозначим AB=a
. Тогда A_{1}M=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Пусть K
— точка пересечения отрезков CB_{1}
и BM
. Поскольку \angle BKB_{1}=90^{\circ}
, острые углы B_{1}BM
и BCB_{1}
прямоугольных треугольников B_{1}BM
и BCC_{1}C
равны. Значит, эти треугольники подобны. Тогда \frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\frac{BB_{1}}{BC}
, откуда находим, что
BB_{1}^{2}=MB_{1}\cdot BC=\frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^{2}}{2},~BB_{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}M
находим, что
BM=\sqrt{BB_{1}^{2}+B_{1}M^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Значит, BM=A_{1}M
. Следовательно, треугольник BMA_{1}
равнобедренный.
б) Опустим перпендикуляр KH
из точки K
на прямую BA_{1}
. Прямая CB_{1}
перпендикулярна плоскости BMA_{1}
, содержащей этот перпендикуляр, поэтому KH\perp CB_{1}
. Значит, KH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BA_{1}
и CB_{1}
, а расстояние между эти прямыми равно длине отрезка KH
.
Из подобия треугольников BKC
и MKB_{1}
следует, что \frac{BK}{KM}=\frac{BC}{MB_{1}}=2
, значит, если MP
— высота прямоугольного треугольника BMA_{1}
, то
MP=\frac{3}{2}KH=\frac{3}{2}\cdot2=3,
а так как треугольник BMA_{1}
равнобедренный и прямоугольный, то A_{1}M=MP\sqrt{2}
, или \frac{a\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}
, откуда a=2\sqrt{6}
. Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot AA_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{8}=\frac{(2\sqrt{6})^{3}}{8}=36.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.19, с. 74