9330. Плоскость \alpha
проходит через середины рёбер AD
, CD
и BB_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Докажите, что эта плоскость делит ребро CC_{1}
в отношении 1:5
, считая от вершины C
.
б) Найдите объём меньшего из многогранников, на которые плоскость \alpha
разбивает параллелепипед, если объём параллелепипеда равен V
.
Ответ. \frac{25}{144}V
.
Решение. а) Пусть K
, L
и M
— середины рёбер соответственно AD
, CD
и BB_{1}
параллелепипеда, P
— точка пересечения прямых KL
и BC
, лежащих в плоскости ABCD
, E
— точка пересечения прямых PM
и CC_{1}
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
. Из равенства треугольников PCL
и KDL
следует, что
PC=DK=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC.
Треугольник PCE
подобен треугольнику PBM
с коэффициентом \frac{PC}{PB}=\frac{1}{3}
, поэтому
CE=\frac{1}{3}BM=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{6}BB_{1}=\frac{1}{6}CC_{1},~EC_{1}=\frac{5}{6}CC_{1}.
Следовательно, CE:EC_{1}=\frac{1}{5}
.
б) Пусть Q
— точка пересечения прямых KL
и AB
. Тогда сечение пирамиды плоскостью KLM
— пятиугольник KLEMF
, причём AF:AA_{1}=CE:CC_{1}=1:6
, BM:BB_{1}=1:2
.
Пусть площадь основания ABCD
равна s
, высота параллелепипеда равна h
, объём равен V
. Тогда
S_{\triangle PCL}=S_{\triangle KDL}=S_{\triangle KAQ}=\frac{s}{8},
S_{\triangle PBQ}=S_{ABCD}-S_{\triangle KDL}+2S_{\triangle PCL}=s-\frac{s}{8}+\frac{s}{4}=\frac{9s}{8},
а так как AF:AA_{1}=CE:CC_{1}=1:6
и BM:BB_{1}=1:2
то высоты треугольных пирамид FKAQ
, ECPL
и MPBQ
, проведённые из вершин F
, E
и M
соответственно, равны \frac{h}{6}
, \frac{h}{6}
и \frac{h}{2}
. Значит,
V_{MPBQ}-V_{FKAQ}-V_{ECPL}=V_{MPBQ}-2V_{ECPL}=
=\frac{1}{3}S_{\triangle PBQ}\cdot\frac{h}{2}-2\cdot\frac{1}{3}S_{CPL}\cdot\frac{h}{6}=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{9s}{8}\cdot\frac{h}{2}-2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{s}{8}\cdot\frac{h}{6}=\frac{3}{16}sh-\frac{1}{72}sh=\frac{25}{144}V.
Это и есть объём меньшей из двух указанных частей.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.11, с. 73