9338. Сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна 6, а площадь сечения, проходящего через ребро AB
и середину бокового ребра CD
, равна 6\sqrt{6}
.
а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
.
б) Найдите объём пирамиды ABCD
.
Ответ. 36.
Решение. а) Пусть O
— центр основания пирамиды, M
и K
— середины рёбер CD
и AB
соответственно, N
— ортогональная проекция точки M
на плоскость основания пирамиды. Тогда рассматриваемое сечение — равнобедренный треугольник AMB
. Точка N
— середина отрезка OC
, MK
— высота треугольника ABM
, MKN
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями сечения и основания пирамиды.
В прямоугольном треугольнике MKN
известно, что
MK=2S_{\triangle AMB}{AB}=\frac{2\cdot6\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6},~
KN=KO+ON=KO+\frac{1}{2}OC=\frac{1}{3}CK+\frac{1}{3}CK=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Значит,
\cos\angle MKN=\frac{KN}{KM}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \angle MKN=45^{\circ}
.
б) Из равнобедренного прямоугольного треугольника MKN
находим, что MN=KN=2\sqrt{3}
, а так как MN
— средняя линия прямоугольного треугольника COD
, то DO=2MN=4\sqrt{3}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=36.