9341. Точки K
, L
, M
лежат на рёбрах соответственно AD
, CD
и BB_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, причём DK:AD=DL:LC=B_{1}M:MB=1:2
.
а) Докажите, что плоскость KLM
делит ребро AA_{1}
куба в отношении 4:11
, считая от точки A
.
б) Найдите объём большей из частей куба, на которые он разбивается плоскостью KLM
, если ребро куба равно 3.
Ответ. \frac{296}{15}
.
Решение. а) Пусть прямая KL
пересекается с прямыми AB
и BC
в точках E
и F
соответственно, P
— точка пересечения прямых EM
и AA_{1}
, Q
— точка пересечения прямых FM
и BB_{1}
. Тогда сечение куба плоскостью KLM
— пятиугольник KLQMP
.
Пусть ребро куба равно 3a
. Из подобия треугольников AKE
и DKL
получаем, что AE=2DL=2a
, а из подобия треугольников MBE
и PAE
—
AP=\frac{AE}{BE}\cdot BM=\frac{AE}{AE+AB}\cdot BM=\frac{2a}{2a+3a}\cdot2a=\frac{4}{5}a.
Тогда
\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{AP}{AA_{1}-AP}=\frac{\frac{4}{5}a}{3a-\frac{4}{5}a}=\frac{4}{11}.
б) Треугольник KDL
подобен треугольнику ADC
с коэффициентом \frac{1}{3}
, а треугольник KAE
подобен треугольнику KDL
с коэффициентом 2, поэтому
S_{\triangle KDL}=\frac{1}{9}S_{\triangle ADC}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot9=\frac{1}{2}.
S_{\triangle LCF}=S_{\triangle KAE}=4S_{\triangle KDL}=4\cdot\frac{1}{2}=2,
S_{\triangle BEF}=S_{ABCD}-S_{\triangle KDL}+2S_{\triangle KAE}=9-\frac{1}{2}+4=\frac{25}{2}.
Пусть V
— объём треугольной пирамиды MBEF
, v
— объём треугольной пирамиды PKAE
, V_{1}
— объём той части куба, которая содержит вершину B
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot MB=\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{2}\cdot2=\frac{25}{3}.
v=\frac{1}{3}S_{\triangle KAE}\cdot AP=\frac{1}{3}\cdot2\cdot\frac{4}{15}\cdot3=\frac{8}{15}.
Значит,
V_{1}=V-2v=\frac{25}{3}-\frac{16}{15}=\frac{109}{15},
а так как \frac{109}{15}\lt\frac{27}{2}
, то получен объём меньшей из двух частей куба. Следовательно, объём большей равен 27-\frac{109}{15}=\frac{296}{15}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4, с. 109