9345. Вокруг куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
описана сфера. На ребре CC_{1}
взята точка M
, при этом плоскость ABM
образует угол 15^{\circ}
с плоскостью ABC
.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости ABM
вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости ABM
и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ. \pi\sqrt{10}
.
Решение. а) Поскольку CB\perp AB
и MB\perp AB
, линейный угол двугранного угла с гранями ABC
и ABM
— это угол CBM
.
Пусть O_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
сферы на плоскость BB_{1}C_{1}C
. Тогда O_{1}
— центр квадрата BB_{1}C_{1}C
. Прямая OO_{1}
параллельна плоскости ABM
, так как она параллельна прямой AB
, лежащей в этой плоскости. Значит, расстояние от центра O
сферы до плоскости ABM
равно расстоянию от точки O_{1}
до этой плоскости, т. е. длине перпендикуляра O_{1}H
, опущенного из точки O_{1}
на прямую BM
.
В прямоугольном треугольнике BHO_{1}
известно, что
\angle HBO_{1}=\angle CBO_{1}-\angle CBM=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ},
а O_{1}B
— радиус окружности, описанной около квадрата BB_{1}C_{1}C
. Следовательно, O_{1}H=\frac{1}{2}O_{1}B
.
б) Радиус R
сферы, описанной около куба с ребром 2, равен половине диагонали куба, т. е. \sqrt{3}
. Радиус r=O_{1}B
окружности, описанной около квадрата со стороной 2, равен половине диагонали квадрата, т. е. r=\sqrt{2}
. Значит, плоскость ABM
, удалённая от центра сферы на расстояние, равное O_{1}H=\frac{1}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{2}
, пересекает сферу по окружности радиуса
\rho=\sqrt{R^{2}-O_{1}H^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}.
Следовательно, длина этой окружности равна
2\pi\rho=2\pi\sqrt{\frac{5}{2}}=\pi\sqrt{10}.